A derivada de um polinômio

A derivada de um polinômio geralmente é tratada de maneira bem simples por muitos autores e em algumas tabelas de derivação advindas de muitos livros ela é classificada como uma derivada “imediata”, mas, de qualquer forma temos que pelo menos aplicar a regra do polinômio mais conhecida como regra do tombo. O que muitas vezes não fica evidente é como se chegou à chamada regra do tombo.

Antes de mais nada vamos considerar que f(x)  é uma função polinomial e consequentemente contínua em todo seu domínio e que sua derivada pode ser obtida pela definição

(1)   \begin{equation*}  \frac{d}{dx}f(x) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{equation*}

que representa o limite da reta secante a f(x) quando esta tende à tangente da curva f(x) no ponto de abcissa x_0.

De maneira geral, vamos considerar o monômio f(x) = x^n e substitui-lo na  definição dada em (1) obtendo-se a seguinte expressão para a derivada

    \[\frac{d}{dx}x^n = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n - x_0 ^n}{x - x_0}\]

o que devemos fazer nesse momento é expandir o numerador do segundo membro da expressão

    \[\frac{d}{dx}x^n = \lim_{x\to x_0} \frac{(x-x_0)(x^{n-1}x_0^0+x^{n-2}x_0^1+x^{n-3}x_0^2+ \ldots + x^0 x_0^{n-1})}{x-x_0}\]

evidenciando-se assim que podemos simplificar (cortar) a expressão x-x_0 que aparece tanto no numerador quanto no denominador evidenciando-se assim um somatório de n termos,

    \[\frac{d}{dx}x^n = \lim_{x\to x_0}(x^{n-1}x_0^0+x^{n-2}x_0^1+x^{n-3}x_0^2+ \ldots + x^0 x_0^{n-1})}\]

deixando espaço para que possamos aplicar o limite de x \to x_0 e por conveniência neste momento substitui-se x no lugar de x_0 e aplica-se o produto das potências de mesma base termo a termo,

    \[\frac{d}{dx}x^n=x^{n-1}+x^{n-1}+x^{n-1}+ \ldots + x^{n-1}\]

restando apenas somar os n termos do segundo membro obtendo-se assim a fórmula da regra do tombo

(2)   \begin{equation*}  \boxed{\frac{d}{dx}x^n=n\cdot x^{n-1}} \end{equation*}

 

Exemplos:

  1. \frac{d}{dx}x^5 = 5x^4
  2. \frac{d}{dx}7x^3 = 3\cdot7x^2 = 21x^2
  3. \frac{d}{dx}(2x^3 - 23x^2 +8x) = 3\cdot2x^2 - 2\cdot23x + 8 = 6x^2 - 46x^2 + 8

 

Autor: Prof. Fábio Matos

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