Integral de sec(x)

Discussão da integral

(1)   \begin{equation*}  \int sec(x) \, dx. \end{equation*}

 

A solução para a integral acima (1) não é obvia,  a estratégia a ser utilizada, será multiplicar e dividir esta expressão por tg(x) + sec(x),

(2)   \begin{equation*}  \int sec(x) \, \frac{tg(x) + sec(x)}{tg(x) + sec(x)} \, dx. \end{equation*}

A partir daqui, o caminho é fazer uma substituição de variáveis, no caso, deve-se considerar nesta substituição

(3)   \begin{equation*}  u=tg(x) + sec(x), \end{equation*}

cuja derivada em relação à variável x é dada por

(4)   \begin{equation*}  \frac{du}{dx} = sec^{2}(x) + sec(x)tg(x), \end{equation*}

que em seguida dando uma  leve “melhorada” por meio de fatoração, a expressão (4) torna-se

(5)   \begin{equation*}  du = sec(x) \,(sec(x) + tg(x)) \,dx. \end{equation*}

Considerando-se os resultados obtidos nas equações (3) e (5)  substitui-mo-las respectivamente nos numerador e denominador da equação (2) de maneira que, obtêm-se uma integral mais enxuta dada por

(6)   \begin{equation*}  \int sec(x) \,dx = \int \frac{du}{u}, \end{equation*}

cujo consequente resultado do lado direito da equação é

(7)   \begin{equation*}  \int sec(x) \,dx = ln|u| + C. \end{equation*}

É claro que não podemos devolver o resultado em função de u. A substituição feita utilizando a variável u, foi apenas um artifício para tornar mais palatável a resolução da integral (1). Desta maneira, faz-se-á necessário substituir a expressão (3) em (7) para obter-se o resultado

(8)   \begin{equation*}  \boxed{ \int sec(x) \,dx = ln|tg(x) + sec(x)| + C. } \end{equation*}

 

Autor: Prof. Fábio Matos

Aulas Particulares de Calculo, Física e Matemática”

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