Teorema de Laplace

\underline{\textbf{Teorema de Laplace:}} O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos respectivos adjuntos.”

Antes de desenvolver o teorema, vamos recordar a definição de \underline{Determinante \, Menor} e \underline{adjunto}, além de um teorema particular.

\underline{\textbf{Determinante  Menor:}} Chama-se Determinante Menor relativo a um elemento da matriz quadrada, o determinante que se obtém, suprimindo a lina e a coluna que se cruzam no elemento considerado.

\underline{Exemplo:} O menor (Determinante) do elemento 7 no Determinante

    \[ \Delta = \left| \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 4 & \color{red}{5} \\ 4 & -1 & 2 & \color{red}{1} \\ \color{red}{5} & \color{red}{-3} & \color{red}{4} & \colorbox{red}{ \color{white}{ 7}} \\ 2 & 5 & 4 & \color{red}{1} \end{array} \right|, \; \acute{e} \;\;\; \delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \end{array} \right|. \]

\underline{\textbf{Adjunto:}} O adjunto de um elemento é o determinante menor desse elemento a que se atribui um sinal dado pela potência \left(-1 \right)^{i+j} onde i e j são, respectivamente, a linha e a coluna a qual pertence o elemento considerado.

Se representarmos por A_{ij} o adjunto do elemento considerado, temos para o adjunto do elemento 7 no determinante acima:

    \[ A_{ij} = A_{34} = \left(-1 \right)^{3+4} \cdot   \left| \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 5 & 4 \end{array} \right|. \]

 

\underline{\textbf{Teorema:}}  Quando os elementos de uma fila são nulos, exceto um dos elementos, o determinante é igual ao produto do elemento não nulo pelo seu adjunto.

\underline{\textbf{1o. caso:}}  Supor que a fina de elementos nulos exceto um é a primeira e o elemento não nulo o primeiro

    \[ \Delta = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & 0 & 0 & 0 & \cdots  & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots   & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \]

Por definição, todos os termos (parcelas) do desenvolvimento do determinante contém um elemento da primeira linha; Que se não for o primeiro elemento, a parcela é nula.

Assim, o determinante se reduz às parcelas que contém a_{11} e como, obviamente, por definição de determinante, essas parcelas não terão nenhum outro elemento da primeira linha ou coluna, conclui-se que, se colocarmos a_{11} em evidência, o outro fator será formado pelos elementos abaixo

    \[ \delta = \left| \begin{array} {cccc} a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right|, \]

que é justamente em valor absoluto e sinal, o adjunto de a_{11} ,  pois

    \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \delta = \delta \;\;\; \Longrightarrow \;\;\; \boxed{ \Delta = A_{11}\cdot a_{11} }\;\;\; \left\{ \begin{array}{l} A_{11} \;\; \longrightarrow \;\;adjunto; \\ a_{11} \;\; \longrightarrow \;\;elemento\; n\tilde{a}o \; nulo. \end{array} \]

 

\underline{\textbf{2o. caso:}}  A fila dos elementos nulos exceto um (elemento) qualquer. Suponhamos nula a linha de ordem k e a_{kj} o elemento não nulo.

    \[ \Delta = \left| \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots  & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{kj} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots   & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \]

O que podemos fazer é deslocar para o primeiro lugar o elemento a_{kj} efetuando a_{kj} efetuando k-1 trocas sucessivas de linhas e j-1 trocas sucessivas de colunas, lembrar que a cada troca de filas paralelas o determinante troca de sinal , isto é, fica multiplicado por -1.

Assim, o determinante ficará multiplicado por (-1)^{k-1+j-1} = (-1)^{k+j-2} ou  (-1)^{k+j} é o mesmo, pois k+i-2 e k+i são da mesma paridade.

Desta maneira, podemos escrever:

    \[ \Delta = (-1)^{k+j} \left| \begin{array} {cccc} a_{kj} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{1j} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{2j} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{nj} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right| \]

Isto é,\;\;\; \Delta = (-1)^{k+j} \cdot \delta \cdot a_{kj}\;,  ou seja,

    \[ \boxed{ \Delta = A_{kj} \cdot a_{kj} } \]

 

\underline{\textbf{Caso Geral  (Teorema de Laplace):}}  Um Determinante Geral de ordem n possui n! parcelas ou termos. Em cada parcela figurará n elementos, mas nunca dois elementos de uma mesma linha ou coluna e que, portanto, haverá  \frac{n!}{n} = (n-1)!  parcelas contendo um único elemento de uma determinada linha i.

De acordo com o teorema anterior  \Delta = (-1)^{i+j} \cdot \delta \cdot a_{ij} \;,   j=\{1, 2, 3, \dots\},  onde,

    \[ C_j = (-1)^{i+j} \cdot \delta. \]

Os coeficientes C são adjuntos dos respectivos elementos da Linha i, o que demonstra o teorema.

 

Autor: Prof. Marcello Carlos,

licenciado em Matemática pela UnG

 

 

 

 

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