O Último Teorema de Fermat

Segundo o autor britânico Simon Lehna Singh em seu livro de 1997 entitulado “O Último Teorema de Fermat”  e que dirigiu o premiado documentário da BBC de mesmo nome,  este teorema foi “o enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos”  ou segundo o prefaciador, dessa mesma obra, John Lynch, “o problema mais difícil da Terra”.

Pierre de Fermat nasceu na França em 1601 e era matemático amador, estudando e criando matemática por puro diletantismo. Fermat ficou entusiasmado quando se deparou com o estudo dos trios pitagóricos quando estudava o Livro II da coleção Aritmética, de Diofante (250 d.C.), inteiros , e tais que

Euclides de Alexandria (300 a.C.) já havia demonstrado que existe uma infinidade de trios pitagóricos, como podemos verificar a seguir, utilizando apenas, os valores :

Fermat, num instante de genialidade, percebeu que não existiriam inteiros distintos , e tais que . Evidentemente, esta percepção foi espetacular: uma pequena modificação de uma equação que possui uma infinidade de soluções produzia uma equação sem soluções. Fermat tentou equações com expoentes maiores e observou que elas também não tinham solução. Estupefato com sua descoberta, Fermat, escreve na margem da Aritmética, de Diofante:

      É impossível para um cubo ser escrito como a soma de dois cubos ou uma quarta potência ser escrita como uma soma de dois números elevado a quatro, ou, em geral, para qualquer número que seja elevado a uma potência maior do que dois ser escrito como a soma de duas potências semelhantes. Eu tenho uma demonstração mas esta margem é muito estreita para contê-la.

Nos últimos 350 anos, muitos matemáticos famosos tentaram demonstrar o teorema de Fermat, o que só foi conseguido por Andrew Wiles em 1995. Este feito ganhou manchetes na mídia internacional, tendo sido noticiado em todos os principais telejornais dos grandes países.

Na solução do problema, Wiles desenvolveu novas ferramentas que têm permitido que pesquisadores deem grandes passos no ambicioso esforço de unificar ramos separados da matemática. Dessa maneira lhe foram concedidos os Prêmios:

Fermat (1995);

Rolf Shock de Matemática (1995);

Ostrowski (1995);

Wolf de Matemática (1995/1996);

Medalha Real (1996);

Matemática NAS (1996);

Cole (1997);

Clay Research Award (1999);

Shaw de Matemática (2005);

Abel (2017);

Medalha Copley (2017).

Wiles se apegou ao Último Teorema de Fermat aos dez anos de idade quando estava lendo um livro chamado “O Ultimo Teorema” escrito por E. T. Bell. Logo percebeu que o Teorema é muito mais fácil de propor do que resolver. Primeiramente formulado pelo Matemático Francês Pierre de Fermat em 1637, que propõe: “Nao existe solução inteira para a equação

quando é maior que 2.”

“Esse problema me cativou,” Disse Wiles ao The Guardian, em entrevista do dia 15 de março de 2016. “Este foi o mais popular e famoso problema matemático, entretanto eu não sabia disso naquela época. O que me deixou maravilhado foi saber que existiam problemas matemáticos não resolvidos e que alguém com 10 anos de idade poderia entender e até mesmo tentar resolver. E eu tentei resolve-lo durante minha adolescência. Quando entrei na faculdade pensei que tivesse  encontrado uma solução, mas logo descobri que estava errada.”

O próprio Fermat alegou ter provado o teorema, mas esta alegação foi apenas a maior provocação da história da matemática, já que declarou que a margem do livro em que ele estava tomando notas era estreita demais para elaborar uma prova. Pelos três séculos seguintes, matemáticos ao redor do mundo tentaram e falharam em resolver este problema.

Mais tarde neste mesmo ano, um matemático que estava verificando as demonstrações de Wiles encontrou um grave erro em seus trabalhos. Wiles ficou devastado, mas prometeu corrigir o erro, e telefonou para seu ex aluno, Richard Taylor para ajudar. Após um ano de trabalho, o engano estava corrigido e revisado e a prova do Teorema publicada.

Wiles resolveu o problema combinando três campos complexos da matemática, chamadas de formas modulares, curvas elípticas, e representações de Galois. Apesar de complicadas, Wiles disse que as equações não estavam além das capacidades de um estudante. “Na verdade os métodos que eu utilizei não eram mais sofisticados que dos que eu certamente utilizava durante a graduação,” ele disse.

O momento de quebra dessa barreira foi o auge da carreira de Wiles e um marco no desenvolvimento da matemática. “Houve dois ou três momentos, e um em particular já no final quando repentinamente eu compreendi como pensar o problema por inteiro, e assim você vê todos esses anos se passando em sua frente, neste momento enxerguei tudo de uma só vez,” ele disse.

Questionado, como se sentia por resolver um problema de centenas de anos após décadas de trabalho, Wiles disse: “É excitante. Esta é a experiência pela qual vivi, ter a percepção, de que de repente você vê tudo claramente após tanto tempo de frustração e obscurecência.”

Os métodos desenvolvidos por Wiles para resolver O Último Teorema de Fermat tiveram um grande impacto na matemática e estão em uso até hoje. “A prova não resolveu apenas o problema, caso contrário não seria tão boa para a matemática. Os métodos utilizados para resolver o Teorema abriram um novo caminho para abordar uma das grandes redes de conjecturas da matemática contemporânea chamada de Programa de Langland, que com uma grande visão tenta unificar diferentes ramos da matemática. Estes métodos, nos deram uma nova perspectiva para olhar estes problemas,” ele disse.

Simon Singh, após o anuncio do prêmio Abel em 2016, disse que, “A prova de Wiles para O Último Teorema de Fermat é considerada a prova do século – inicialmente submetida com 200 páginas de matemática densa, mas que depois foi suavizada para leves 130 páginas quando foi publicada. No entanto, este prêmio que chega duas décadas após a prova ter sido revelada, é uma grande oportunidade para relembrar os colegas nerds e os não nerds, também, de uma das mais inspiradoras histórias da matemática.”

Autor: Prof. Fábio Matos

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