Qual é a quantidade de água necessária para cobrir as 4 esferas?

 



Resposta:

Uma maneira de abordar o problema é considerar a visão de cima. Veremos que o copo como um circulo. Dentro estão as bordas circulares para as duas esferas de cima, que se tangenciam e tangenciam o copo. As duas esferas do fundo estão rotacionadas em 90 graus em relação às duas de cima – assim, os dois círculos são tangentes entre si e ao copo.

O diametro de cada esfera é 5\,cm, então cada raio vale 2,5\,cm. Nos podemos encontrar a distancia horizontal entre os centros das esferas do topo e do fundo do copo que é 2,5\sqrt{2}\,cm, já que cada lado do triângulo retângulo formado mede 2,5\,cm.

 

 

Nos podemos considerar um triângulo retângulos com as seguintes características.

Seja a hipotenusa o seguimento de reta conectando os centros das esferas superior e inferior. Essa hipotenusa terá um comprimento de 2r\,=\,5, pois os círculos são tangentes entre si.

Um dos catetos do triângulo retângulo é a medida horizontal, 2,5\sqrt{2}\,cm, que já calculamos.

O outro cateto será dado a distância vertical, entre os centros das esferas superior e inferior. Como este triângulo retângulo é isósceles, então a distância vertical também será 2,5\sqrt{2}\,cm.

 

 

Agora podemos resolver a altura do topo da esfera superior. Ela será dada pelo comprimento de dois raios mais a distância vertical entre os centros, que é 2,5\sqrt{2}\,. Então distância vertical será dada por 5\,+\, 2,5\sqrt{2}\,.

Para calcular o volume de água necessário para cobrir as esferas superiores vamos considerar o volume do cilindro que alcança as esferas superiores, e então subtrair o volume das quatro esferas dadas.

O cilindro tem volume

    \[ V_C\,=\,\pi\cdot R^{2} \cdot h, \]

sendo que R\,=\,5\,cm e h\,=\,(5\,+\,2,5\sqrt{2})\,cm.

 

Cada esfera tem um volume

    \[ V_E\,=\,\frac{4}{3}\pi \cdot r^{3}, \]

sendo r\,=\,2,5\,cm.

 

Então, o volume da água será

    \[ \begin{array}{l} V_{agua}\,=\,V_C\,-\,4 \cdot V_E \\ \\ V_{agua}\,=\,\pi\cdot R^{2} \cdot h\,-\,4\cdot\frac{4}{3}\pi \cdot r^{3}  \\ \\ V_{agua}\,=\, \pi 5^{2}(5\,+\,2,5\sqrt{2})\, - \,\frac{16}{3}\pi (2,5)^3  \\ \\ V_{agua}\,=\, \pi 5^{2}(5\, + \, \frac{5}{2}\sqrt{2})\, - \, \frac{16}{3} \pi \left( \frac{5}{2} \right)^{3} \\ \\ V_{agua}\,=\, 125 \pi \left (1\, + \, \frac{\sqrt{2}}{2} \, - \, \frac{2}{3} \right) \\ \\ \\ \fbox{V_{agua}\,=\, \frac{125 \pi}{6} \left(2 \,+\, 3\sqrt{2} \right)\,cm^{3}}. \end{array} \]


Autor: Prof. Fábio Matos

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