Existe um subgrupo não cíclico de ordem 4 em H(40)? Caso exista, como podemos encontra-lo.

Resposta:

 

Existem duas classes de isomorfismo para grupos de ordem 4:

Ou um grupo desordem quatro é isomorfico para o grupo cíclico Z_4 ou um grupo de ordem quatro é isomorfico para o grupo Quatro de Klein. Lembrando que o grupo Quatro de Klein é não cíclico desde que todo elemento elevado ao quadrado resulta na identidade. Isso significa que um grupo que não possui elemento de ordem quatro não pode ser cíclico.

Assim, se existe um subgrupo não cíclico de ordem em

    \[ H(40)\,=\, \{x \,\in\, Z_{40} \, | \, mdc(x, 40) \,=\, 1 \} \]

então ele deve ser isomorfico para o grupo Quatro de Klein. Então ele deve possuir o elemento identidade e deve possuir três elementos cujo quadrado é a própria identidade.

Em outras palavras, queremos encontrar os elementos x \,\in \, H(40) tais que x^2 é o elemento identidade em H(40).

Lembrando que a multiplicação é reduzida a mod(40) no grupo U(40). Dessa maneira, argumentando que x^2 de ser o elemento identidade em H(40) é equivalente a argumentar que

    \[ x^2\,\equiv\, 1\,mod(40) . \]

Para encontrar tais valores para x, começaremos procurando por números que sejam congruentes a 1\,mod(40) e verificar se eles são realmente quadrados perfeitos.

  • 1 é um quadrado perfeito então \sqrt{1} \,=\,1 deve ser nosso subgrupo não cíclico de ordem quatro.
  • 41 não é um quadrado perfeito.
  • 81 é um quadrado perfeito então \sqrt{81}\,=\,9 deve ser nosso subgrupo não cíclico de ordem quatro.
  • 121 é um quadrado perfeito então \sqrt{121}\,=\,11 deve ser nosso subgrupo não cíclico de ordem quatro.
  • 361 é um quadrado perfeito então \sqrt{361}\,=\,19 deve ser nosso subgrupo não cíclico de ordem quatro.

Assim, nós temos o subgrupo não cíclico \{1, 9, 11, 19 \} com a tabela de multiplicação que segue:

    \[ \begin{tabular}{c|c c c c} \star & \textbf{1} & \textbf{9} & \textbf{11} & \textbf{19} \\ \hline \textbf{1} & 1 & 9 & 11 & 19 \\ \textbf{9} & 9 & 1 & 19 & 11 \\ \textbf{11} & 11 & 19 & 1 & 9 \\ \textbf{19} & 19 & 11 & 9 & 1 \\ \end{tabular} \]

Dessa forma, concluimos que o grupo é isomorfico para o grupo Quatro de Klein.


Autor: Prof. Fábio Matos

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