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Equações Diferenciais Matemática

Equação diferencial – Meia vida do Plutônio 239

Publicado

Um reator nuclear converte urânio-238 \left(\, \ce{^{238}_{92}U \, \right)} em isótopo de plutônio-239 \left(\, \ce{^{239}_{94}Pu \, \right)} . Após 15 anos, foi detectado que 0,043\% da quantidade inicial A_0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

 

 

 

Resolução:

Considerando que a taxa de desintegração do plutônio é diretamente proporcional à quantidade remanescente podemos escrever a equação diferencial

(1)   \begin{equation*} \frac{d}{dt}A\,=\,kA \end{equation*}

sendo A(t) a quantidade de plutônio em um tempo t\geq 0 e k uma constante de proporcionalidade.

Aplicando-se a separação de variáveis em 1, teremos as variáveis A e t escritas, respectivamente, nos lados esquerdo e direito da igualdade

(2)   \begin{equation*} \frac{dA}{A}\,=\,k\cdot dt. \end{equation*}

Neste momento é importante observar que podemos calcular a integral em ambos os lados da equação de maneira que

(3)   \begin{equation*} \int \frac{dA}{A} \,=\, k \cdot\int \,dt \,+\, C, \end{equation*}

cujas integrais resultam em

(4)   \begin{equation*} \ln(A) \,=\, k\cdot t\, + \, C. \end{equation*}

Para que possamos explicitar a função A(t) aplicaremos as propriedades operatórias dos logaritmos e das potências,

    \[ \begin{tabular}{l} A \,=\, e^{kt\,+\,C} \\ \\ A(t) \,=\,e^C \cdot e^{kt} \\ \\ \end{tabular} \]

Lembrando que a quantidade inicial  A_0 de isótopos de plutônio é dada em um instante t =0,

    \[ \begin{tabular}{l} A(0)\,=\,e^C \cdot e^{k \cdot 0} = A_0 \\ \\ e^C \,=\, A_0 \end{tabular} \]

Percebe-se que a função A(t) pode se reescrita como

(5)   \begin{equation*} A(t)\,=\, A_o \cdot e^{k \cdot t}. \end{equation*}

Para o instante t\,=\,15 anos, notou-se que 0,043% da quantidade inicial de plutônio havia se desintegrado, ou seja, a quantidade de plutônio remanescente é dada por

    \[ A(15)\,=\, A_0 \cdot e^{k \cdot 15} \,=\, (100-0,043)\% A_0 \]

que por consequência nos leva ao valor da constante k

    \[ k \cdot 15 \,=\, ln(99,957\%), \]

(6)   \begin{equation*} k \,=\, \frac{1}{15} \cdot ln \left( \frac {99957}{100000} \right). \end{equation*}

A meia vida do plutônio, t_{1/2}, é obtida para o instante em que

    \[ A(t_{1/2}) \,=\, \frac{A_0}{2} \,=\, A_0 \cdot e^{k \cdot t_{1/2}} \]

    \[ ln \left( \frac{1}{2} \right) \,=\, k \cdot t_{1/2} \]

    \[ t_{1/2} \,=\, \frac { ln \left( \frac{1}{2} \right) }{k} \]

    \[ t_{1/2} \,=\, \frac { ln \left( \frac{1}{2} \right) }{ \frac{1}{15} \cdot ln \left( \frac {99957}{100000} \right) }. \]

Dessa maneira podemos afirmar que a meia vida do plutônio é

(7)   \begin{equation*} \boxed{ t_{1/2} \,=\, 24174,35 \, anos }. \end{equation*}

Autor: Prof. Fábio Matos

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