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Lógica Proposicional Matemática

Lógica Proposicional II – Proposições compostas e conectivos lógicos

Publicado

II – Proposições compostas e conectivos lógicos 

Fonte: http://www.sherlock-holmes.dk

As proposições são, geralmente, simbolizadas por letras do alfabeto. Faremos aqui o uso das letras P e Q para simbolizar proposições, no entanto, pode-se fazer uso de qualquer letra.

P: Brasília é a capital do Brasil.

Q: Moscou é a capital da França.

As duas proposições, P e Q, acima não podem ser divididas em proposições menores, assim, dizemos que elas são proposições simples.

Ao se juntar duas ou mais proposições simples obtêm-se uma proposição maior, esta proposição maior é chamada de proposição composta.

Exemplo 1:

P \wedge Q:  Brasília é a capital do Brasil e Moscou é a capital da França.

No exemplo acima, e é um conectivo lógico de conjunção.

 

Um conectivo lógico (também chamado de operador lógico) é um símbolo ou palavra usada para conectar duas ou mais sentenças, ou proposições, (de linguagem formal ou coloquial) de maneira gramaticalmente válida, sendo que o sentido da sentença produzida depende apenas das sentenças originais.

    \[ \textbf{Conectivos \, L\'{o}gicos} \]

    \[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{Palavra} & \textbf{S\'{i}mbolo} & \textbf{Nome} \\ \hline e & \wedge & conjun\c{c}\~{a}o \\ \hline ou & \vee & disjun\c{c}\~{a}o inclusiva \\ \hline n\~{a}o & \sim \, ou\, \neg & nega\c{c}\~{a}o \\ \hline se\, \dots \, ent\~{a}o & \Longrightarrow & condicional \\ \hline se\, e\, somente \, se & \Longleftrightarrow & bicondicional \\ \hline ou\, \dots \, ou & \underline{\vee} & disjun\c{c}\~{a}o exclusiva \end{tabular} \]

 

Exemplo 2:

São dadas as proposições (sentenças):

R: Mulheres são de Venus;

S: Homens são de Marte.

 As duas proposições, R e S, acima, podem compor juntas uma proposição maior, com base na tabela de proposições teremos:

  1. R \wedge S:  Mulheres são de Vênus e homens são de Marte;
  2. R \vee S:  Mulheres são de Vênus ou homens são de Marte;
  3. \sim S:  Homens não são de Marte;
  4. R \Longrightarrow S:  Se mulheres são de Vênus então homens são de Marte;
  5. R \Longleftrightarrow S:  Mulheres são de Vênus se e somente se homens são de Marte;
  6. R \underline{\vee} S:  Ou mulheres são de Vênus ou homens são de Marte.

 

É importante frisar que em diversas questões de concurso público pede-se para transformar frases em simbologia lógica e vice-versa.

Exercícios: 

1. STF 2008 [CESPE]

Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado.

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos  “\vee“, “\wedge“, “\longrightarrow” e “\neg” representem os conectivos lógicos   “ou”, “e”, “se … então” e “não”, respectivamente.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P \wedge ( \neg R ).

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q \longrightarrow S.

3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q \wedge R) \longrightarrow P.

 

Resolução 

  1. A palavra “mas” tem uma função análoga da palavra “e”, assim, o item está correto.
  2. Está correto.
  3. Se (nesse pais, o direito é respeitado), então ((o país é próspero) e (todos os trabalhadores têm emprego) )  P \longrightarrow (Q \wedge S). Item errado.

Gabarito: Certo, certo e errado.

2. TRT 1a Região 2008 [CESPE]

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, mas não se admitem os julgamentos V e F simultaneamente. As letras maiúsculas do alfabeto, A, B, C etc., são freqüentemente utilizadas para representar proposições simples e, por isso, são denominadas letras proposicionais. Alguns símbolos lógicos utilizados para construir proposições compostas são:

“\neg” (não) – usado para negar uma proposição;

“\wedge” (e) – usado para fazer a conjunção de proposições;

“\vee” (ou) – usado para fazer a disjunção de proposições;

“\longrightarrow” (implicação) – usado para relacionar condicionalmente as proposições, isto é, “A \longrightarrow B” significa “se A então B“;

A proposição “\neg A” tem o valor lógico contrário ao de A;

A proposição “A \vee B” terá valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V;

A proposição “A \wedge B" terá valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F;

A proposição “A \longrightarrow B” terá valor lógico F quando A for V e V for F, caso contrário será sempre V.

Considerando as definições apresentadas no texto anterior, as letras proporcionadas adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbolização correta dessa proposição.

a) \neg (A \wedge B)

b) ( \neg A)\, \vee \, ( \neg B)

c) ( \neg A)\, \wedge \, ( \neg B)

d) ( \neg A)\, \longrightarrow \, B

e) \neg [A\, \vee \, (\neg B)]

 

Resolução:

Reescrevendo a frase, sem prejuízo para o seu sentido:

(Antônio não é desembargador) e (Jonas não é juiz).

Cujas proposições podem ser separadas em

\neg A:  Antônio não é desembargador;

\neg B:  Jonas não é juiz.

Então, representando-se as proposições acima em símbolos, têm-se:

    \[ (\neg A) \, \wedge \, (\neg B). \]

Gabarito: c

 

Autor: Prof. Fábio Matos

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