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Lógica Proposicional

Lógica Proposicional VII – Algebra das Proposições

Publicado
George Boole (1815 – 1864) foi um matemático, filósofo britânico, criador da álgebra booleana, fundamental para o desenvolvimento da computação moderna.

 

A algebra das proposições é baseada nos conectivos “e” (\wedge)  e “ou” (\vee) pois estes dois conectivos apresentam propriedades muito interessantes e que são análogas às propriedades algébricas.

É importante frisar que este paralelo com a álgebra serve só para aplicarmos as propriedades distributiva, comutativa, associativa e elemento neutro. Pois, de fato, nós não vamos somar ou multiplicar as proposições entre si. A nossa intensão aqui é utilizar as propriedades que serão apresentadas a seguir para facilitar a simplificação das proposições compostas.

As propriedades que discutiremos a seguir são também conhecidas como algebra booleana.

 

I – Analogias

Consideremos que, sejam A e B proposições lógicas simples quaisquer e que V e F são valores lógicos verdadeiro e falso respectivamente.

  • A conjunção e (\wedge) é associada ao produto

    \[ A \wedge B \; = \; A \cdot B. \]

  • A disjunção ou (\vee) é associada à soma

    \[ A \vee B \; = \; A + B. \]

  • A negação (\neg)

    \[(\neg A) \;=\; \overline{A}.\]

  • A Tautologia é associada ao número 1

    \[V \; =\; 1;\]

    \[ V \vee A \; \equiv \; V \;\; \Longleftrightarrow \;\; 1 + A \;=\;1; \]

    \[A \vee \neg A\; \equiv \; V \;\; \Longleftrightarrow \;\; A + \overline{A} \;=\; 1.\]

  • A Contradição é associada ao número 0 (zero)

    \[F \; =\; 0;\]

    \[ F \wedge A \; \equiv \; F \;\; \Longleftrightarrow \;\; 0 \cdot A \;=\;0; \]

    \[A \wedge \neg A\; \equiv \; F \;\; \Longleftrightarrow \;\; A \cdot \overline{A} \;=\; 0.\]

 

II – Propriedades da Algebra Booleana

  • Comutativa

    \[A + B \;=\; B + A;\]

    \[A\cdot B \;=\; B \cdot A. \]

  • Associativa 

    \[(A + B) + C \;=\; A + (B + C);\]

    \[(A \cdot B) \cdot C \;=\; A \cdot (B \cdot C).\]

  • Distributiva

    \[A \cdot (B + C) \;=\; A \cdot B + A \cdot C. \]

 

III – Regras Booleans para Simplificação 

(1)   \begin{equation*} \boxed{A + AB \;=\; A.} \end{equation*}

Essa regra pode ser demonstrada simbolicamente fatorando-se a proposição A dos dois termos, e aplicando-se a as regras A+1 = 1 e 1 \cdot A = A para chegar ao resultado final:

    \[ \begin{tabular}{l} A + A \cdot B = \\ \\ A \cdot (1 + B) = \\ \\ A \cdot (1)= \\ \\ A. \end{tabular} \]

 

A próxima regra parece similar com a primeira, mas no entanto é um pouco diferente de forma que teremos de usar um “truque” algébrico.

(2)   \begin{equation*} \boxed{A + \overline{A}B \;=\; A + B.} \end{equation*}

    \[ A + \overline{A}B = \]

Devemos expandir utilizando a propriedade da equação (1), A + AB = A,

    \[ \begin{tabular}{l} A + \textcolor{red}{AB} + \overline{A}B = \\ \\ A + (A + \overline{A})B = \\ \\ A + (1)B = \\ \\ A + B. \end{tabular} \]

 

A regra a seguir envolve a simplificação do produto das somas:

(3)   \begin{equation*} \boxed{(A + B) \cdot (A + C) \; = \; A + BC.} \end{equation*}

 

    \[ \begin{tabular}{l} (A + B) \cdot (A + C) = \end{tabular} \]

Aplicando a propriedade distributiva,

    \[ \begin{tabular}{l} AA + AC + BA + BC = \\ \\ A + AC + BA + BC = \\ \\ A(1 + C) + BA + BC = \\ \\ A \cdot 1 + BA + BC = \\ \\ A(1 + B) + BC = \\ \\ A \cdot 1 + BC = \\ \\ A + BC. \end{tabular} \]

 

IV – Regras booleanas úteis para simplificação

Resumindo, as três regras Booleanas úteis para simplificação são:

    \[ \begin{tabular}{l} A + AB \;=\; A; \\ \\ A + \overline{A}B \;=\; A + B; \\ \\ (A + B) \cdot (A + C) \; = \; A + BC. \end{tabular} \]

Exercícios Resolvidos 

1. TCE – AC 2008 [CESPE]

[…]

Com base nas definições do texto, é correto afirmar que a proposição simbolizada por [(\neg A) \vee B] \wedge [A \vee (\neg B)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a) (B \longrightarrow A) \vee (\neg A \longrightarrow \neg B).

b) (B \vee A) \vee ((\neg A) \vee (\neg B)).

c) (B \wedge A) \vee ((\neg A) \wedge (\neg B)).

d) (B \vee A) \vee (\neg A \longrightarrow \neg B).

e) (B \longrightarrow A) \vee ((\neg A) \vee (\neg B)).

 

Solução:

    \[ \begin{tabular}{ll} [(\neg A) \vee B] \wedge [A \vee (\neg B)] \; & \equiv \; [\overline{A} + B] \cdot [A + \overline{B}] \\ \\ & \equiv \; \overline{A}A + \overline{A} \overline{B} + BA + B \overline{B} \\ \\ & \equiv \; 0 + \overline{A} \overline{B} + BA + 0 \\ \\ & \equiv \; \overline{A} \overline{B} + BA \\ \\ & \equiv \;[ (\neg A) \wedge (\neg B)] \vee (B \wedge A). \end{tabular} \]

Gabarito C.

 

2. SEBRAE 2010 [CESPE]

Julgue os itens a seguir:

  1. A proposição [\neg B] \vee {[\neg B] \longrightarrow A} é uma tautologia.
  2. A proposição [\neg B] \wedge [A \longrightarrow B] é logicamente falsa.

 

Solução:

1.

    \[ \begin{tabular}{ll} [\neg B] \vee {[\neg B] \longrightarrow A} \; & \equiv \; [\neg B] \vee {\neg [\neg B] \vee A} \\ \\ & \equiv \; [\neg B] \vee {B \vee A} \\ \\ & \equiv \; \overline{B} + B + A \\ \\ & \equiv \; 1 + A \\ \\ & \equiv \; 1. \end{tabular} \]

Gabarito Certo!

2.

    \[ \begin{tabular}{ll} [\neg B] \wedge [A \longrightarrow B] \; & \equiv \; \[\neg B] \wedge [\neg A \vee B] \\ \\ & \equiv \; \overline{B} \cdot [\overline{A} + B] \\ \\ & \equiv \; \overline{B} \overline{A} + \overline{B} B \\ \\ & \equiv \; \overline{B} \overline{A} + 0 \\ \\ & \equiv \; (\neg B) \wedge (\neg A). \end{tabular} \]

Gabarito Errado!

Autor: Prof. Fábio Matos

“Aulas Particulares de Calculo, Física e Matemática”

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