A Prova dos Noves Fora

Quem nunca ouviu o termo, “vamos tirar a prova dos nove”? Recordo-me de minha mãe dizendo que eu deveria “tirar” a prova dos nove ao término de qualquer uma das quatro operações matemáticas. Mas ao que parece, com o passar dos anos e o fácil acesso às calculadoras eletrônicas, a Prova dos Noves caiu em desuso e o termo “vamos tirar a prova dos nove” se tornou sinônimo de passar algo a limpo, ou verificar se algo está errado.

Certa vez, dentro de uma empresa onde trabalhei, antes de uma reunião que trataria a respeito de um certo impasse com relação ao atendimento a um de nossos clientes, ouvi um colega comentar, ” O Diretor fulano estará lá, agora sim, vamos tirar a prova dos nove.” Naquele instante, percebi que a prova dos nove virara sinônimo para resolução de impasses.

Muito bem, sabemos que a prova dos nove é um método muito antigo, que era usado para verificar erros em problemas aritméticos básicos, tais como, soma, subtração, multiplicação e divisão. Muito antes do advento das calculadoras. Por exemplo, para verificar-se que 6783 + 4192 =  10875, pelo método da Prova dos Nove, deve-se ir somando os algarismos do primeiro membro da igualdade e subtraindo 9 sempre que a soma for maior ou igual a 9, faz-se o mesmo para os algarismos do segundo membro e, no final, comparar os resultados obtidos. Para os algarismos dos primeiro e segundo membros, temos:

    \[ \begin{tabular}{c | c} \underbrace{6 + 7}_{\color{red}{13 - 9}} + 8 + 3 + 4 + 1 + 9 + 2 &  \underbrace{1 + 0 + 8}_{\color{red}{9 - 9}} + 7 + 5 \\ \\ \underbrace{\textcolor{red}{4} + 8}_{\color{red}{12 - 9}} + 3 + 4 + 1 + 9 + 2 & \underbrace{\textcolor{red}{0} + 7 + 5}_{\color{red}{12 - 9}} \\ \\ \underbrace{\textcolor{red}{3} + 3 + 4}_{\color{red}{10 - 9}} + 1 + 9 + 2 &\textcolor{red}{ 3} \\ \\ \underbrace{\textcolor{red}{1} + 1 + 9}_{\color{red}{11 - 9}} + 2 & 3 \\ \\ \textcolor{red}{2} +2 & 3 \end{tabular} \]

Comparando os resultados encontrados, como 4 \neq 3, então a conta está errada.

Esse método funciona para adição, subtração, multiplicação e divisão de números decimais (não apenas inteiros). Considerando que é, aparentemente, um método muito antigo. Mesmo assim, muitos sistemas modernos de verificação de dígitos de cartões de crédito e códigos barras, são baseados em técnicas muito parecidas com a dos Noves Fora.

A Prova dos Noves Fora tem limitações. Ela pode fornecer falsos positivos em algumas circunstancias. Pois este processo é útil para verificar se a conta está errada, porém  não garante que a conta esteja correta. Por exemplo, a conta  1836 + 4527 = 6453 está errada, mas passa pela Prova dos Noves Fora.

Então, porque esse método funciona? Ele é baseado no fato que dado um inteiro, ambos, o inteiro e a soma de seus dígitos sempre terão o mesmo resto quando divididos por 9. Isso é fácil de verificar se olharmos um inteiro qualquer N com três dígitos. Esse inteiro pode ser escrito como

    \[ N = 1000a_3 + 100a_2 + 10a_1 + a_0 \]

Sendo que a_3, a_2, a_1 e a_0 são inteiros que estão entre 0 e 9, inclusive, e a_3 é diferente de zero. Separando-se os coeficientes a_3, a_2, a_1 e reescrevendo a expressão:

    \[ N = 999a_3 + 99a_2 + 9a_1 + (a_3 + a_2 + a_1 + a_0) \]

Se dividirmos os dois lados dessa equação por 9, obteremos o mesmo resto para os lados direito e esquerdo pois 999a_3 + 99a_2 + 9a_1 é divisível por 9. Nada mudará, realmente, se utilizarmos um inteiro maior – teremos apenas mais termos com noves no lado direito da equação acima além de dígitos adicionais.

Em uma linguagem mais técnica, nós dizemos que N e a soma de seus dígitos são congruentes módulo 9. Se estivermos adicionando dois inteiros N e M, então a soma dos dígitos da soma N + M é congruente módulo 9 às somas dos dígitos de N e dos dígitos de M. Assim, se cometermos qualquer erro ao calcular N + M, é provável que este apareça no resto da divisão por 9. Mas não é sempre que isso acontece.


Autor: Prof. Fábio Matos

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