Lógica proposicional III - Tabela verdade dos conectivos lógicos

III – Tabela verdade dos conectivos lógicos

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Conjunção (e): A conjunção de duas sentenças $A$ e $B$ , escritas na forma de lógica proposicional como $(A \wedge B)$ , será verdadeira se ambas, $A$ e $B$ , forem verdadeiras, e será falsa se $A$ ou $B$ for falsa ou se ambas forem falsas. O significado do operador “ $\wedge$ ” pode ser demonstrado na tabela a seguir, que mostra o valor da conjunção de acordo com cada uma das quatro possibilidades.

$\begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \wedge \, \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & F \\ \end{tabular}$

Disjunção (ou): A disjunção de duas sentenças $A$ e $B$ , escritas na forma de lógica proposicional como $(A \vee B)$ , será verdadeira se $A$ ou $B$ for verdadeira, ou se ambas, $A$ e $B$ forem verdadeiras, e será falsa apenas se $A$ e $B$ forem falsas. O significado do operador “ $\vee$ ” pode ser demonstrado na tabela a seguir, que mostra a o valor da disjunção de acordo com cada uma das quatro possibilidades.

$\begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \vee \, \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \end{tabular}$

Condicional (se … então): Essa função verdade é representada na linguagem de lógica proposicional pelo símbolo “ $\longrightarrow$ “. Uma sentença na forma $(A \longrightarrow B)$ , é falsa se $A$ for verdadeira e $B$ for falsa, e será verdadeira se $A$ for falsa e $B$ verdadeira ou falsa, ou se ambas forem verdadeiras. Essa função verdade gera a tabela que segue:

$\begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \longrightarrow \, \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \end{tabular}$

Bicondicional (se e somente se): Essa função verdade é representada na linguagem de lógica proposicional pelo símbolo $" \longleftrightarrow "$ . Uma sentença na forma $(A \longleftrightarrow B)$ será verdadeira se $A$ e $B$ forem, ambas, verdadeiras ou falsas, e será verdadeira se $A$ e $B$ tiverem valores lógicos diferentes. Assim, temos a tabela a seguir:

$\begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \longleftrightarrow \, \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \end{tabular}$

Disjunção exclusiva (ou … ou): A disjunção exclusiva de duas sentenças $A$ e $B$ , escritas na forma de lógica proposicional como $\left (A \underline{\vee} B)$ , será verdadeira se $A$ for verdadeira e $B$ falsa ou se $A$ for falsa e $B$ verdadeira, e será falsa se $A$ e $B$ forem ambas verdadeiras ou falsas. O significado do operador “ $\underline{\vee}$ ” pode ser demonstrado na tabela a seguir, que mostra o valor da disjunção exclusiva de acordo com cada uma das quatro possibilidades.

$\begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \veebar \textbf{B} \\ \hline V & V & F \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \end{tabular}$

Negação (não): A negação de uma sentença A, é escrita na linguagem de lógica proposicional nas formas $(\neg A)$ ou $(\sim A)$ , é esperado que o valor lógico seja verdadeiro se $A$ for falso, e falso se o valor de $A$ for verdadeiro. Diferentemente de outros operadores lógicos que já foram considerados, a negação é aplicada em proposições simples, dessa maneira, a tabela verdade para a negação acaba sendo a mais simples de todas,

$\begin{tabular}{c|c} \hline \textbf{A} & \neg \textbf{A} \\ \hline V & F \\ \hline F & V \\ \end{tabular}$

Exercícios

1. INSS 2008 [CESPE]

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.° da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável.

B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado.

C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue os itens a seguir.

1. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, $B \longrightarrow C$ é $V$ .

2. De acordo com a notação apresentada acima, é correto afirmar que a proposição $(\neg A) \vee (\neg B)$ , tem valor lógico $F$ .

Resposta:

De acordo com o Artigo 5o. inciso XLII da C.F., $A$ é falsa $(A=\, F)$ , e a negação de $A$ é verdadeira $(\neg A=\, V)$ ;

De acordo com o Artigo 5o. inciso XXXII da C.F., $B$ é verdadeira $(B=\, V)$ , e a negação de $B$ é falsa $(\neg B=\, F)$ ;

De acordo com o Artigo 5o. inciso LII da C.F., $C$ é falsa $(C=\, F)$ , e a negação de $C$ é verdadeira $(\neg C= \, V)$ .

$B \longrightarrow C \, = \, V \longrightarrow F \, = \, F$ ;
$(\neg A) \vee (\neg B) \,=\, (V) \vee (F) \, = \, V$ .

Gabarito: errado e certo.

2.TRE ES 2010 [CESPE]

Considere que a proposição “O professor Carlos participou do projeto ou a aluna Maria é eleitora” seja falsa. Nesse caso, a proposição “Se o professor Carlos participou do projeto, então a aluna Maria é eleitora” será verdadeira.

Resposta:

Considere as seguintes proposições simples:

$A$ : O professor Carlos participou do projeto.

$B$ : A aluna Maria é eleitora.

Lembrando-se que a disjunção, “O professor Carlos participou do projeto ou a aluna Maria é eleitora“, é falsa no encontro de duas proposições falsas,

$A\, \vee \, B \, = F , \;\; \left \{ \begin{array}{c} A = F; \\ B = F. \end{array}$

Assim, ao analisarmos a função lógica condicional, “Se o professor Carlos participou do projeto, então a aluna Maria é eleitora“,

$\begin{array}{l} &A \longrightarrow B \, = \\ &F \longrightarrow F \, = V. \end{array}$

Gabarito: certo.

3. PREVIC 2010 [CESPE]

Se a proposição P for falsa, então a proposição $P \longrightarrow (Q \vee R)$ será uma proposição verdadeira.

Resolução:

A proposição $P = F$ , e a proposição $(Q \vee R)$ pode assumir dois valores lógicos possíveis, $V$ ou $F$ . Vamos analisar essas duas situações:

$P \longrightarrow (Q \vee R) = \, \left \{ \begin{array}{l} F \longrightarrow V = V; \\ F \longrightarrow F = V. \end{array}$

Gabarito: certo.

4. MRE 2009 [FCC] Questionados sobre a falta ao trabalho no dia anterior, três funcionários do Ministério das Relações Exteriores prestaram os seguintes depoimentos:

– Aristeu: “Se Boris faltou, então Celimar compareceu.”

– Boris: “Aristeu compareceu e Celimar faltou.”

– Celimar: “Com certeza eu compareci, mas pelo menos um dos outros dois faltou.”

Admitindo que os três compareceram ao trabalho em tal dia, é correto afirmar que

(A) Aristeu e Boris mentiram.

(B) os três depoimentos foram verdadeiros.

(D) apenas Aristeu falou a verdade.

(E) apenas Aristeu e Celimar falaram a verdade.

Resolução:

Vamos considerar as proposições simples:

A: Aristeu compareceu;

B: Boris compareceu;

C: Celimar compareceu.

As três proposições, $A$ , $B$ e $C$ , têm valor lógico verdadeiro $(V)$ , ou seja

$\left \{ \begin{array}{l} A = V; \\ B = V; \\ C = V. \end{array}$

Agora vamos à análise das declarações dos três funcionários.

$\begin{array}{lccccl} A =& (\neg B) \longrightarrow C &=& F \longrightarrow V &= V; \\ B =& A \wedge (\neg C) &=& V \wedge F &= F; \\ C =& C \wedge (\neg A \vee \neg B) &=& V \wedge (F \vee F) &= V \wedge F = F. \end{array}$

Gabarito: D

5. Sebrae 2008 [CESPE]

Julgue os itens a seguir:

1. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela verdade da proposição $P \longrightarrow [Q \vee R]$ .

$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{R} &\;\;\; & \textbf{P} \longrightarrow [\textbf{Q} \vee \textbf{R}] \\ \hline V & V & V & & V \\ \hline V & V & F & & V \\ \hline V & F & V & & V \\ \hline V & F & F & & F \\ \hline F & V & V & & V \\ \hline F & V & F & & V \\ \hline F & F & V & & V \\ \hline F & F & F & & V \\ \end{array}$

Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta.

2. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela verdade referente à proposição $P \wedge [Q \longrightarrow R]$ .

$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{R} &\;\;\; & \textbf{P} \wedge [\textbf{Q} \longrightarrow \textbf{R}] \\ \hline V & V & V & & V \\ \hline V & V & F & & F \\ \hline V & F & V & & V \\ \hline V & F & F & & F \\ \hline F & V & V & & V \\ \hline F & V & F & & F \\ \hline F & F & V & & F \\ \hline F & F & F & & F \\ \end{array}$

Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta.

Resolução:

1. A idéia aqui é não perder tempo preenchendo a tabela, procede-se assim quando é possível, é claro. Se observarmos a 4a. linha e ultima coluna, veremos o único valor lógico que é falso para todas as 8 opções possíveis nessa tabela, o nosso objetivo agora será verificar se essa informação realmente procede, lembrando que a proposição

$P \longrightarrow [Q \vee R] ,$

só terá valor lógico $F$ para o caso em que $(P = V)$ e $(Q \vee R = F)$ , em todos os outros casos o valor lógico será $V$ . Assim, resolvendo a 4a. linha,

$\begin{array}{l} P \longrightarrow [Q \vee R] = \\ V \longrightarrow [F \vee F] = \\ V \longrightarrow F = F. \\ \end{array}$

Dessa maneira, pode-se afirmar que a primeira tabela está correta.

2. Na segunda tabela, a proposição exigida na quinta coluna terá valor lógico $V$ para a situação exposta a seguir,

$P \wedge [Q \longrightarrow R] = V, \, se\, \left \{ \begin{array}{l} P = V; \\ Q \longrightarrow R = V. \end{array}$

Se comparando-se o resultado acima com a 5a. linha, pode-se concluir que a tabela 2 está errada.

Gabarito: Certo, errado.

5. STF 2008 [CESPE]

Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “ $\vee$ “, “ $\wedge$ “, “ $\longrightarrow$ ” e “ $\neg$ ” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras – V – ou como falsas – F. Com base nestas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional.

1. A última coluna da tabela-verdade corresponde à proposição $(P \wedge R) \longrightarrow Q$ .

$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{R} & \textbf{P} \wedge \textbf{R} & \;\;\; \\ \hline V & V & V & & V \\ \hline V & V & F & & V \\ \hline V & F & V & & F \\ \hline V & F & F & & V \\ \hline F & V & V & & F \\ \hline F & V & F & & V \\ \hline F & F & V & & F \\ \hline F & F & F & & V \\ \end{array}$

2. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição $(\neg P) \vee (Q \longrightarrow R)$ .

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{R} & \neg\textbf{P} & \textbf{Q} \longrightarrow \textbf{R} & \;\;\; \\ \hline V & V & V & & & V \\ \hline V & V & F & & & F \\ \hline V & F & V & & & V \\ \hline V & F & F & & & V \\ \hline F & V & V & & & V \\ \hline F & V & F & & & V \\ \hline F & F & V & & & V \\ \hline F & F & F & & & V \\ \end{array}$

Resolução:

1. Considerando que a função lógica $(P \wedge R) \longrightarrow Q$ , tem valor lógico $F$ , somente, para a situação em que

$\left \{ \begin{array}{l} P \wedge R = V; \\ Q = F. \end{array}$

Se considerarmos os valores lógicos da quinta linha,

$\left \{ \begin{array}{l} P= F; \\ Q = V;\\ R = V.\\ \end {array} \Longrightarrow \begin{array}{l} (P \wedge R) \longrightarrow Q = \\ (F \wedge V) \longrightarrow V = \\ F \longrightarrow V = V. \end{array}$

Assim, conclui-se que, o item 1 está incorreto.

2. A função lógica $(\neg P) \vee (Q \longrightarrow R)$ , terá valor lógico $F$ apenas para

$\left \{ \begin{array}{l} \neg P = F; \\ Q \longrightarrow R = F. \end{array}$

Ante ao exposto, a melhor estratégia é confrontar a função lógica dada com a segunda linha,

$\left \{ \begin{array}{l} P= V; \\ Q = V;\\ R = F.\\ \end {array} \Longrightarrow \begin{array}{l} (\neg P) \vee (Q \longrightarrow R)= \\ (\neg V) \vee (V \longrightarrow F) = \\ F \vee F = F. \end{array}$

Provando, assim, que o item está correto.

Gabarito: errado, certo.

6. TRT 5a Região 2008 [CESPE]

Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição $(\neg A) \vee B \longrightarrow \neg (A \vee B)$ .

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \neg \textbf{A} & (\neg \textbf{A}) \vee \textbf{B} & \neg (\textbf{A} \vee \textbf{B}) & (\neg \textbf{A}) \vee \textbf{B} \longrightarrow \neg (\textbf{A} \vee \textbf{B}) \\ \hline V&V&F&&&V\\ \hline V&F&F&&&F\\ \hline F&V&V&&&V\\ \hline F&F&V&&&V\\ \hline \end{array}$

Resposta:

A função lógica proposta para a última coluna da tabela-verdade terá valor lógico $F$ apenas para a situação,

$(\neg A) \vee B \longrightarrow \neg (A \vee B), \;\; se\; \left \{ \begin{array}{l} (\neg A) \vee B = F; \\ \neg (A \vee B) = F. \end{array}$

Assim, fazendo-se uso dos valores lógicos da segunda linha

$\left \{ \begin{array}{l} A= V; \\ B = F. \end {array} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{ll} (\neg A) \vee B = (\neg V) \vee F = F \vee F &= F ; \\ \neg (A \vee B) = \neg (V \vee F) = \neg V &= F . \end{array}$

Gabarito: certo.

7. TCE RN 2009 [CESPE]

Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorizações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição $A \vee B \longrightarrow C \wedge D$ será sempre verdadeira.

Resolução:

$\left \{ \begin{array}{l} B=F; \\ D=V. \end{array} \Longrightarrow \begin{array}{l} A \vee B \longrightarrow C \wedge D \\ A \vee F \longrightarrow C \wedge V \\ A \longrightarrow C \end{array}$

que é falsa para $A=V$ e $C=F$ .

Gabarito: errado.

8. SEFAZ MG 2005 [ESAF]

O reino está sendo atormentado por um terrível dragão. O mago diz ao rei: “O dragão desaparecerá amanhã se e somente se Aladim beijou a princesa ontem”. O rei, tentando compreender melhor as palavras do mago, faz as seguintes perguntas ao lógico da corte:

1. Se a afirmação do mago é falsa e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

2. Se a afirmação do mago é verdadeira e se o dragão desaparecer amanhã, posso concluir corretamente que Aladim beijou a princesa ontem?

3. Se a afirmação do mago é falsa e se Aladim não beijou a princesa ontem, posso concluir corretamente que o dragão desaparecerá amanhã?

O lógico da corte, então, diz acertadamente que as respostas logicamente corretas para as três perguntas são, respectivamente:

a) Não, sim, não

b) Não, não, sim

c) Sim, sim, sim

d) Não, sim, sim

e) Sim, não, sim

Resolução:

Com base na proposição composta que é dada no texto:

O dragão desaparecerá amanhã = $D$ ;

Aladim beijou a princesa ontem = $A$ .

Vamos agora para as perguntas feitas ao lógico da corte, pelo rei.

$D \longleftrightarrow A = F, \; se\; \left \{ \begin{array}{l} D = V; \\ A = F. \end{array}$

Não;

$D \longleftrightarrow A = V, \; se\; \left \{ \begin{array}{l} D = V; \\ A = V. \end{array}$

Sim;

$D \longleftrightarrow A = F, \; se\; \left \{ \begin{array}{l} D = V; \\ A = F. \end{array}$

Sim.

Gabarito: D.

Autor: Prof. Fábio Matos

“Aulas Particulares de Calculo, Física e Matemática”

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