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Lógica Proposicional Matemática

Lógica proposicional V – Tautologia, Contradição e Contingência

Publicado

V – Tautologia, Contradição e Contingência 

1. Tautologia

A tautologia é uma função lógica que é sempre verdadeira (V) para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais.

Exemplo 1:

Ou o político é ladrão ou o político não é ladrão.

Temos duas proposições

A: O político é ladrão;

\neg A: O político não é ladrão.

A tabela verdade da afirmação (A \veebar \neg A) tornar-se-á:

    \[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \neg \textbf{A} & \textbf{A} \veebar \neg \textbf{A} \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \end{tabular} \]

Nota-se que, independentemente dos valores lógicos de A a tabela verdade retorna apenas respostas verdadeiras (V). Dessa maneira, pode-se afirmar que “Ou o político é ladrão ou o político não é ladrão” é uma tautologia.

Exemplo 2:

A proposição \left[ A \vee \neg \left( A \wedge B \right) \right] é também uma tautologia conforme a tabela verdade a seguir ilustra.

    \[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \wedge \textbf{B} & \neg \left( \textbf{A} \wedge \textbf{B} \right) & \textbf{A} \vee \neg \left( \textbf{A} \wedge \textbf{B} \right) \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & V & V \\ \hline F & V & F & V & V \\ \hline F & F & F & V & V \end{tabular} \]

 

2. Contradição

A contradição é uma função lógica que é sempre falsa (F) para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais.

Exemplo 1:

Vamos analisar a tabela verdade para a proposição \left( A \wedge \neg A \right).

    \[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \neg \textbf{A} & \textbf{A} \wedge \neg \textbf{A} \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \end{tabular} \]

Nota-se, que não importa o que ocorra com as proposições simples, a última coluna é sempre verdadeira (V).  Assim, pode-se afirmar que a função lógica dada, \left( A \wedge \neg A \right), é uma contradição.

Exemplo 2:

Prove que (A \vee B) \wedge [(\neg A) \wedge (\neg B)] é uma contradição.

Conforme a tabela verdade que é dada a seguir.

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \vee \textbf{B} & \neg \textbf{A} & \neg \textbf{B} & (\neg \textbf{A}) \wedge (\neg \textbf{B}) & (\textbf{A} \vee \textbf{B}) \wedge [(\neg \textbf{A}) \wedge (\neg \textbf{B})] \\ \hline V & V & V & F & F & F & F \\ \hline V & F & V & F & V & F & F \\ \hline F & V & V & V & F & F & F \\ \hline F & F & F & V & V & V & F \end{tabular}

Como pode-se notar, todos os valores da função lógica (A \vee B) \wedge [(\neg A) \wedge (\neg B)] são falsos (F), assim, pode-se concluir que esta função lógica é uma contradição.

 

3. Contingência 

Se tem uma contingencia quando não há nem uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta, ao mesmo tempo, alguns valores verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão origem à afirmação em análise.

Exemplo 1: 

Pode-se verificar que a sentença (A \longleftrightarrow B) é uma contingência, verificando-se sua tabela-verdade.

    \[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \longleftrightarrow \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \end{tabular} \]

De fato, a tabela-verdade do bicondicional, dada acima, nos retorna valores que são hora verdadeiro e hora falsos,  e dessa maneira que não se pode caraterizar esta afirmação como tautologia ou contradição. Assim, função lógica dada pode ser chamada de contingência.

A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a contradição são exceções.

 

Importante 

  • Tautologia: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico V.
  • Contradição: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico F.
  • Contingência: proposição composta que apresenta tabela verdade com valores lógicos V e F.

Exercícios resolvidos

1. STF 2008 [CESPE]

1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros.

2. Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P \wedge (\neg Q)] \vee [Q \longrightarrow P].

    \[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \neg \textbf{Q} & [\textbf{P} \wedge (\neg \textbf{Q})] & \textbf{Q}\longrightarrow \textbf{P} & \;\;\; \\ \hline V & V & & & & V \\ \hline V & F & & & & V \\ \hline F & V & & & & F \\ \hline F & F & & & & V \\ \end{tabular} \]

 

Solução:

Item (1): A tautologia é uma proposição composta que será verdadeira para quaisquer valores lógicos das proposições simples que a compõem. Item errado.

Item (2): A função lógica da última coluna é uma disjunção, e esta é será falsa apenas para duas afirmações falsas, (F \vee F = F). Dessa forma, basta analisar a terceira linha da tabela-verdade.

    \[ \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \, \Longrightarrow \, \left \{ \begin{array}{ll} P \wedge (\neg Q) &= F \wedge (\neg V) = F; \\ Q \longrightarrow P &= V \longrightarrow F = F. \end{array} \]

Consequentemente,

    \[ [P \wedge (\neg Q)] \vee [Q \longrightarrow P] = F \vee F = F. \]

O que nos leva a afirmar que o item está correto.

Gabarito: Errado, correto. 

2. SEFAZ SP 2006 [FCC]

Considere as informações abaixo.

I – O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.

II – A proposição "\left( 10<\sqrt{10} \right) \longleftrightarrow 8 - 3 = 6\," é falsa.

III – Se p e q são proposições, então a proposição "(p \longrightarrow q) \vee (\neg q)" é uma tautologia.

É verdade o que se afirma apenas em:

a) I e II

b) I e III

c) I

d) II

e) III

 

Solução:

Item (I): O número máximo de linhas de uma tabela verdade é dado por uma potência de base 2, dessa forma, o número de linhas terá, sempre, um valor par. Item correto. 

Item (II):

    \[ \begin{array}{c} \left( 10<\sqrt{10} \right) \longleftrightarrow (8 - 3 = 6) =\\ \\ F \longleftrightarrow F = V. \end{array} \]

Item errado. 

Item (III): Fazendo-se o uso da tabela-verdade,

    \[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{p} & \textbf{q} & \textbf{p} \longrightarrow \textbf{q} & \neg \textbf{q} & (\textbf{p} \longrightarrow \textbf{q}) \vee (\neg \textbf{q}) \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & V & V\\ \hline F & V & V & F & V\\ \hline F & F & V & V & V\\ \end{tabular} \]

verifica-se que o item está correto.

Gabarito: B.

3. PREVIC 2010 [CESPE]

A proposição (P \vee Q) \longrightarrow (Q \wedge P) é uma tautologia.

 

Solução:

    \[ (P \vee Q) \longrightarrow (Q \wedge P) = F, \, se \, \]

    \[ \left \{ \begin{array}{l} P \vee Q = V ,\,se\, \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \\ \\ Q \wedge P = F, \,se \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \end{array} \]

Então, a função lógica dada não é uma tautologia, já que tem valor lógico falso para P = V e Q = F.

Gabarito: Errado. 

Autor: Prof. Fábio Matos

“Aulas Particulares de Calculo, Física e Matemática”

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