V – Tautologia, Contradição e Contingência
1. Tautologia
A tautologia é uma função lógica que é sempre verdadeira 
para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais.
Exemplo 1:
Ou o político é ladrão ou o político não é ladrão.
Temos duas proposições
: O político é ladrão;
: O político não é ladrão.
A tabela verdade da afirmação 
tornar-se-á:
![\[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \neg \textbf{A} & \textbf{A} \veebar \neg \textbf{A} \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-15efc0ba6da90d0aee17aa0118f5c23b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nota-se que, independentemente dos valores lógicos de a tabela verdade retorna apenas respostas verdadeiras . Dessa maneira, pode-se afirmar que “Ou o político é ladrão ou o político não é ladrão” é uma tautologia.
Exemplo 2:
A proposição ![\left[ A \vee \neg \left( A \wedge B \right) \right]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84ed449f2631ecbc49b1fcd1823edc0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
é também uma tautologia conforme a tabela verdade a seguir ilustra.
![\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \wedge \textbf{B} & \neg \left( \textbf{A} \wedge \textbf{B} \right) & \textbf{A} \vee \neg \left( \textbf{A} \wedge \textbf{B} \right) \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & V & V \\ \hline F & V & F & V & V \\ \hline F & F & F & V & V \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-baf8b4ecd4ec97669a05f5297a19c869_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2. Contradição
A contradição é uma função lógica que é sempre falsa 
para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais.
Exemplo 1:
Vamos analisar a tabela verdade para a proposição 
.
![\[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \neg \textbf{A} & \textbf{A} \wedge \neg \textbf{A} \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4986fbdb7628c34f5933f00563b2a126_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nota-se, que não importa o que ocorra com as proposições simples, a última coluna é sempre verdadeira . Assim, pode-se afirmar que a função lógica dada, , é uma contradição.
Exemplo 2:
Prove que ![(A \vee B) \wedge [(\neg A) \wedge (\neg B)]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-74e0d887cf5cb63cac1a25c407a10979_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
é uma contradição.
Conforme a tabela verdade que é dada a seguir.
![\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \vee \textbf{B} & \neg \textbf{A} & \neg \textbf{B} & (\neg \textbf{A}) \wedge (\neg \textbf{B}) & (\textbf{A} \vee \textbf{B}) \wedge [(\neg \textbf{A}) \wedge (\neg \textbf{B})] \\ \hline V & V & V & F & F & F & F \\ \hline V & F & V & F & V & F & F \\ \hline F & V & V & V & F & F & F \\ \hline F & F & F & V & V & V & F \end{tabular}](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e17eab444f18d117f8517f04fc8c2f48_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como pode-se notar, todos os valores da função lógica são falsos , assim, pode-se concluir que esta função lógica é uma contradição.
3. Contingência
Se tem uma contingencia quando não há nem uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta, ao mesmo tempo, alguns valores verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão origem à afirmação em análise.
Exemplo 1:
Pode-se verificar que a sentença 
é uma contingência, verificando-se sua tabela-verdade.
![\[ \begin{tabular}{c|c|c} \hline \textbf{A} & \textbf{B} & \textbf{A} \longleftrightarrow \textbf{B} \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8a836625b747d6b6ec09d2d3e0311bf_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
De fato, a tabela-verdade do bicondicional, dada acima, nos retorna valores que são hora verdadeiro e hora falsos, e dessa maneira que não se pode caraterizar esta afirmação como tautologia ou contradição. Assim, função lógica dada pode ser chamada de contingência.
A contingência é a situação mais comum de ocorrer. Ela é a regra geral. A tautologia e a contradição são exceções.
Importante
- Tautologia: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico V.
- Contradição: proposição composta cuja tabela verdade só apresenta valor lógico F.
- Contingência: proposição composta que apresenta tabela verdade com valores lógicos V e F.
Exercícios resolvidos
1. STF 2008 [CESPE]
1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros.
2. Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão ![[P \wedge (\neg Q)] \vee [Q \longrightarrow P]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0ee68e488ffa532e77daa0e643e1ccbe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
![\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \hline \textbf{P} & \textbf{Q} & \neg \textbf{Q} & [\textbf{P} \wedge (\neg \textbf{Q})] & \textbf{Q}\longrightarrow \textbf{P} & \;\;\; \\ \hline V & V & & & & V \\ \hline V & F & & & & V \\ \hline F & V & & & & F \\ \hline F & F & & & & V \\ \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d21341680afe63a93e149da28ef2ba14_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Solução:
Item (1): A tautologia é uma proposição composta que será verdadeira para quaisquer valores lógicos das proposições simples que a compõem. Item errado.
Item (2): A função lógica da última coluna é uma disjunção, e esta é será falsa apenas para duas afirmações falsas, 
. Dessa forma, basta analisar a terceira linha da tabela-verdade.
![\[ \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \, \Longrightarrow \, \left \{ \begin{array}{ll} P \wedge (\neg Q) &= F \wedge (\neg V) = F; \\ Q \longrightarrow P &= V \longrightarrow F = F. \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-acd6adcd504f06adf260646eadc94b13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Consequentemente,
![\[ [P \wedge (\neg Q)] \vee [Q \longrightarrow P] = F \vee F = F. \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-77741c8bccac26c5c9f3a9cbcecaad82_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
O que nos leva a afirmar que o item está correto.
Gabarito: Errado, correto.
2. SEFAZ SP 2006 [FCC]
Considere as informações abaixo.
I – O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II – A proposição 
é falsa.
III – Se p e q são proposições, então a proposição 
é uma tautologia.
É verdade o que se afirma apenas em:
a) I e II
b) I e III
c) I
d) II
e) III
Solução:
Item (I): O número máximo de linhas de uma tabela verdade é dado por uma potência de base 2, dessa forma, o número de linhas terá, sempre, um valor par. Item correto.
Item (II):
![\[ \begin{array}{c} \left( 10<\sqrt{10} \right) \longleftrightarrow (8 - 3 = 6) =\\ \\ F \longleftrightarrow F = V. \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f7e44d9d8e663f0f3a0089775b6e9e1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Item errado.
Item (III): Fazendo-se o uso da tabela-verdade,
![\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c} \hline \textbf{p} & \textbf{q} & \textbf{p} \longrightarrow \textbf{q} & \neg \textbf{q} & (\textbf{p} \longrightarrow \textbf{q}) \vee (\neg \textbf{q}) \\ \hline V & V & V & F & V \\ \hline V & F & F & V & V\\ \hline F & V & V & F & V\\ \hline F & F & V & V & V\\ \end{tabular} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c67ab9b0ce9c17b2397383cb0466e15_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
verifica-se que o item está correto.
Gabarito: B.
3. PREVIC 2010 [CESPE]
A proposição 
é uma tautologia.
Solução:
![\[ (P \vee Q) \longrightarrow (Q \wedge P) = F, \, se \, \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75722b3ae4186308581fe6f5db59a0b3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \left \{ \begin{array}{l} P \vee Q = V ,\,se\, \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \\ \\ Q \wedge P = F, \,se \left \{ \begin{array}{l} P = F; \\ Q = V. \end{array} \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-480ba6819dd832a6915a17ad83debf36_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Então, a função lógica dada não é uma tautologia, já que tem valor lógico falso para 
e 
.
Gabarito: Errado.
Autor: Prof. Fábio Matos
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