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Matemática

Limite bidimensional: Demonstração da inexistência

Publicado

Por Prof. Fábio Matos

O problema proposto é mostrar que o limite bidimensional

    \[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy}{x^2+y^2}\]

não existe. Para isso, faremos a aproximação do ponto (0,0) através de diferentes caminhos, a fim de verificar se o valor do limite depende do caminho escolhido. Se valores diferentes forem obtidos ao seguir diferentes caminhos, então concluímos que o limite não existe.

A sugestão é que consideremos a aproximação do ponto (x,y) \rightarrow (0,0) pelo eixo x e pela reta y=x.

1. Aproximação pelo eixo x

Vamos inicialmente aproximar o ponto (0,0) pelo eixo x, ou seja, quando y=0. Substituímos y=0 na expressão da função:

    \[f(x,y)=\frac{2xy}{x^2 + y^2}\]

​

Substituindo y=0:

    \[f(x,0) = \frac{2x \cdot 0}{x^2 + 0^2} = \frac{0}{x^2} =0\]

Portanto, o limite ao longo do eixo x é:

    \[\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0\]

2. Aproximação pela reta y = x

Agora, aproximemos o ponto (0,0) pela reta y=x. Substituímos y=x na função:

    \[f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}\]

Substituindo y=x:

    \[f(x, x) = \frac{2x \cdot x}{x^2 + x^2}= \frac{2x^2}{2x^2}\]

Portanto, o limite ao longo da reta y=x é:

    \[\lim_{x \to 0} f(x, x) = 1\]

3. Conclusão

Ao observarmos os dois caminhos escolhidos, percebemos que, ao aproximarmos o ponto (0,0) pelo eixo x, o limite é 0, enquanto ao aproximarmos pela reta y=x, o limite é 1. Como os valores do limite dependem do caminho tomado, podemos concluir que o limite não existe.

Portanto, demonstramos que:

    \[\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{2xy}{x^2 + y^2}\]

não existe.

Considerações finais

Esse exemplo ilustra como a inexistência de um limite bidimensional pode ser verificada quando o valor depende do caminho escolhido. Esse tipo de análise é comum em problemas de cálculo multivariável, onde o comportamento da função perto de um ponto pode variar conforme a direção de aproximação.

Essa técnica também pode ser estendida a outros métodos, como a parametrização polar, que permite uma visualização mais completa do comportamento da função em torno de pontos críticos.

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