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Matemática

Limites de Funções Multivariáveis: Quando o Caminho Importa

Publicado

Por Prof. Fábio Matos

Introdução:

Os limites em funções de várias variáveis podem apresentar um comportamento muito mais complexo do que em funções de uma variável, e isso é evidenciado quando o valor do limite depende do caminho seguido até o ponto de interesse. Neste artigo, vamos explorar a análise detalhada de um limite envolvendo duas variáveis, utilizando dois métodos consagrados: o método dos caminhos e a substituição por coordenadas polares. Através desses métodos, investigaremos se o limite existe e, se existir, qual seria o seu valor. Veremos que, dependendo do caminho tomado para aproximar o ponto, o valor do limite pode variar, levando-nos à conclusão de que ele não existe.

O objetivo aqui é mostrar como essas técnicas podem ser aplicadas na prática e como a análise detalhada de diferentes abordagens nos permite entender o comportamento de funções multivariáveis de forma mais profunda.

Problema

Queremos determinar o limite:

    \[\lim_{(x, y) \to (2, 0)} \frac{xy - 2y}{(x - 2)^2 + y^2}\]

Primeiro, testamos diferentes caminhos para verificar se o limite depende do caminho seguido. O método dos caminhos é útil para explorar a possibilidade de que o limite não exista, mostrando diferentes resultados conforme o caminho seguido.

Passo (a): Método dos Caminhos

Teste 1: Caminho y = 0

Substituímos y=0 na expressão original:

    \[\frac{xy - 2y}{(x - 2)^2 + y^2} = \frac{x \cdot 0 - 2 \cdot 0}{(x - 2)^2 + 0^2}=0\]

Portanto, ao seguir o caminho y=0, o limite é:

    \[\lim_{x \to 2}0=0\]

Teste 2: Caminho x = 2

Substituímos x=2 na expressão original:

    \[\frac{xy - 2y}{(x - 2)^2 + y^2} = \frac{2y - 2y}{(2 - 2)^2 + y^2} =\]

    \[\frac{0}{y^2} = 0\]

Portanto, ao seguir o caminho x=2, o limite também é:

    \[\lim_{y \to 0} 0= 0\]

Teste 3: Caminho y = x−2

Agora, substituímos y = x − 2, que é uma linha reta inclinada passando pelo ponto (2,0).

A expressão torna-se:

    \[\frac{x(x - 2) - 2(x - 2)}{(x - 2)^2 + (x - 2)^2} =\]

    \[\frac{x(x - 2) - 2(x - 2)}{2(x - 2)^2}\]

Fatoramos o numerador:

    \[\frac{(x - 2)(x - 2)}{2(x - 2)^2} = \frac{(x - 2)^2}{2(x - 2)^2} = \frac{1}{2}\]

Assim, ao seguir o caminho y = x − 2, o limite é:

    \[\lim_{x \to 2}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\]

Conclusão Parcial

Com esses três caminhos, temos diferentes resultados: 0 para os caminhos y=0, x=2 e \frac{1}{2}​ para o caminho y = x − 2. Isso indica que o limite não existe, pois depende do caminho seguido.

Passo (b): Coordenadas Polares

Agora, vamos utilizar coordenadas polares para confirmar a conclusão de que o limite não existe. Em coordenadas polares, fazemos as substituições:

    \[x = 2 + r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta)\]

Substituímos essas expressões na função original:

    \[\frac{xy - 2y}{(x - 2)^2 + y^2} =\]

    \[\frac{(2 + r\cos(\theta))r\sin(\theta) - 2r\sin(\theta)}{(2 + r\cos(\theta) - 2)^2 + (r\sin(\theta))^2}\]

​

Simplificamos o numerador:

    \[(2 + r\cos(\theta))r\sin(\theta) - 2r\sin(\theta) =\]

    \[2r\sin(\theta) + r^2\cos(\theta)\sin(\theta) - 2r\sin(\theta) =\]

    \[r^2\cos(\theta)\sin(\theta).\]

E o denominador:

    \[(2 + r\cos(\theta) - 2)^2 + (r\sin(\theta))^2 =\]

    \[(r\cos(\theta))^2 + (r\sin(\theta))^2.\]

Logo, a expressão do limite em coordenadas polares fica:

    \[\frac{r^2\cos(\theta)\sin(\theta)}{r^2} = \cos(\theta)\sin(\theta)\]

Agora, tomamos o limite quando \to 0. A função resultante, \cos(\theta)\sin(\theta), não depende de r, o que indica que o limite depende do valor de \theta.

Conclusão Final

Como o limite depende de \theta, concluímos que o limite não existe, pois o valor depende do ângulo \theta, ou seja, do caminho seguido até o ponto (2,0).

Resumo

No item (a), utilizamos o método dos caminhos para mostrar que o limite assume diferentes valores dependendo do caminho seguido, o que nos leva a concluir que o limite não existe. No item (b), confirmamos essa conclusão ao verificar que o valor do limite em coordenadas polares depende de \theta, indicando novamente que o limite não existe.

Este exemplo ilustra bem como o comportamento de uma função em um ponto pode depender do caminho seguido, mostrando a importância de ferramentas como o método dos caminhos e a conversão para coordenadas polares na análise de limites de funções de várias variáveis.

Referências

“Polar Coordinates in Multivariable Calculus – Paul’s Online Math Notes” (2023).

  • Um guia prático sobre como utilizar coordenadas polares em funções de várias variáveis, com exemplos e exercícios resolvidos.

Stewart, J. (2015). Cálculo: Vol. 2 – Funções de várias variáveis. Cengage Learning.

  • Livro fundamental para quem estuda cálculo multivariável, abordando limites, derivadas e integrais em mais de uma variável.

Anton, H., Bivens, I., & Davis, S. (2013). Cálculo. Bookman Editora.

  • Esta obra explora os conceitos de limites em funções de uma e várias variáveis, além de incluir uma excelente explicação sobre coordenadas polares.

Apostol, T. (2010). Calculus: Volume II. John Wiley & Sons.

  • Outro excelente recurso que aborda cálculo em várias variáveis e explora em detalhes a teoria de limites.

Strang, G. (2016). Introduction to Linear Algebra and Calculus in Several Variables. MIT OpenCourseWare.

  • O MIT OpenCourseWare oferece materiais gratuitos sobre cálculo multivariável, incluindo exercícios sobre limites e coordenadas polares.

Larson, R. (2018). Calculus with Analytic Geometry. Houghton Mifflin Company.

  • Este livro inclui uma excelente explicação sobre a técnica dos caminhos e como ela pode ser aplicada para determinar a existência de limites multivariáveis.

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