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Derivadas Matemática

Derivada da função irracional

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Dando continuidade ao assunto de derivadas, vale lembrar uma classe de funções que é extremamente recorrente no dia a dia do profissional que lida com exatas que são as funções irracionais.

As funções irracionais são aquelas na forma f(x) =\sqrt[m]{x^n}.  Assim como foi feito na derivada do polinômio, utilizaremos aqui a definição da derivada de uma função

(1)   \begin{equation*} \frac{d}{dx}f(x) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \end{equation*}

para demonstrar a derivada de uma função irracional f(x) dada, substitui-mo-la na equação 1, obtendo-se

    \[\frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt[m]{x^n} - \sqrt[m]{x_0^n}}{x - x_0}\]

como é típico do calculo de limites devemos sempre procurar uma saída algébrica viável por meio de fatorações, dessa forma, para se iniciar de maneira mais simples é interessante entender a raiz como uma potência de expoente racional

    \[\frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{x^\frac{n}{m} - x_0^\frac{n}{m}}{x - x_0}\]

agora faz-se expandir os produtos notáveis tanto do numerador quanto do denominador do limite,

    \[\frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \lim_{x \to x_0} \frac{(x^\frac{1}{m}-x_0^\frac{1}{m}) (x^\frac{n-1}{m}x_0^\frac{0}{m}+x^\frac{n-2}{m}x_0^\frac{1}{m}+\ldots + x^\frac{0}{m}x_0^\frac{n-1}{m})} {(x^\frac{1}{m}-x_0^\frac{1}{m})(x^\frac{m-1}{m}x_0^\frac{0}{m}+x^\frac{m-2}{m}x_0^\frac{1}{m}+\ldots + x^\frac{0}{m}x_0^\frac{m-1}{m})}\]

após esta expansão, fica evidente a simplificação do termo (x^\frac{1}{m}-x_0^\frac{1}{m}). Deve-se notar a partir daí que temos no numerador um somatório de n termos e no denominador outro somatório composto de m termos, assim, resolvendo o limite de x \to x_0 (substituindo x no lugar de x_0) e aplicando-se o produto das potências

    \[\frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \frac{x^\frac{n-1}{m} + x^\frac{n-1}{m} + \ldots + x^\frac{n-1}{m}}{x^\frac{m-1}{m} + x^\frac{m-1}{m} + \ldots + x^\frac{m-1}{m}} = \frac{nx^\frac{n-1}{m}}{mx^\frac{m-1}{m}}\]

que está mais simples que o contemplado no inicio do texto, mas pode-se, deve-se, ir um pouco além disso aplicando-se agora a regra da divisão de potências de mesma base

    \[\frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \frac{n}{m} \cdot x^\frac{n-1 - (m-1)}{m} = \frac{n}{m} \cdot x^\frac{n-m}{m}\]

e lembrando agora que faz parte dos bons costumes devolver tudo do jeito que encontrou, vamos aplicar esta regra básica em nosso problema, já que a expressão foi entregue na forma de radical é importante que se devolva na forma de radical, isto é, quando possível for! Desta maneira, a derivada da função irracional será dada por

(2)   \begin{equation*} \boxed{ \frac{d}{dx}\sqrt[m]{x^n} = \frac{n}{m}\sqrt[m]{x^{n-m}}. } \end{equation*}

 

 

Exemplos:

  1. Calcule a derivada da função f(x) = \sqrt{x}.

    \[ \frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{d}{dx}\sqrt[2]{x^1} \]

Com base na equação (2) pode-se afirmar que m = 2 e n = 1,

    \begin{align*} \frac{d}{dx}\sqrt{x} &= \frac{1}{2} \sqrt[2]{x^{1-2}}\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{x^{-1}}\\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}. \end{align*}

 

2. Calcule a derivada da função f(x) =\sqrt[4]{x^3}.

Com base na equação (2) pode-se afirmar que m=4 e n=3,

    \[ \begin{split} \frac{d}{dx}\sqrt[4]{x^3} &= \frac{3}{4} \sqrt[4]{x^{3-4}}\\ &= \frac{3}{4} \sqrt[4]{x^{-1}}\\ &= \frac{3}{4} \frac{1}{\sqrt[4]{x}}. \end{split} \]

 

Autor: Prof. Fábio Matos

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