IV – Quantidade de linhas das tabelas verdade
Uma questão que é, frequentemente, levantada quando se trabalha com tabelas verdade, é a partir de um determinado número de proposições simples que compõe uma função lógica, qual será a quantidade, máxima, de linhas da tabela verdade de tal função lógica. Podem acreditar, esse tipo de pergunta sobre a quantidade de linhas de uma tabela verdade tem se tornado comum em concursos públicos.
Mas, como determinar a quantidade de linhas de uma determinada tabela verdade sem ter que passar pelo processo, enfadonho, de construí-la. Para responder essa pergunta, vamos trabalhar com alguns conjuntos de proposições simples.
1. Seja 
uma proposição, sabe-se que a uma proposição qualquer, podemos atribuir apenas os valores lógicos verdadeiro 
ou falso 
. Dessa forma, tem-se o diagrama de arvore,
![\[ \fbox{A} \; \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{A\,=\,V} \\ \\ \colorbox{red}{A\,=\,F} \end{array}, \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee13e723f427d2ec5d922bc63986d931_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
que, evidentemente, nos mostra que uma proposição simples terá apenas 2 linhas na tabela verdade.
2. Para duas proposições simples e 
, o número de arranjos possíveis será dado por,
![\[ \fbox{A,\;B} \; \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{A\,=\,V} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{B\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{B\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,F} \end{array} \\ \\ \colorbox{red}{A\,=\,F} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{B\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{B\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,F} \end{array} \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a6135a1bc317b522b7ef112b7afa1ac2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
que resulta em quatro arranjos possíveis. Ou seja, duas proposições simples resultam em 4 linhas.
3. Agora vejamos, no diagrama de arvore, abaixo, o esquema para tabela verdade com 3 proposições simples , e 
.
![\[ \fbox{A,\;B,\;C} \; \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{A\,=\,V} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{B\,=\,V} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{C\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,V,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{C\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,V,\,F} \end{array} \\ \\ \colorbox{red}{B\,=\,F} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{C\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,F,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{C\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{V,\,F,\,F} \end{array} \end{array} \\ \\ \colorbox{red}{A\,=\,F} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{B\,=\,V} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{C\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,V,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{C\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,V,\,F} \end{array} \\ \\ \colorbox{red}{B\,=\,F} \left \{ \begin{array}{l} \colorbox{green}{C\,=\,V} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,F,\,V} \\ \\ \colorbox{red}{C\,=\,F} \;\; \longrightarrow \;\; \fbox{F,\,F,\,F} \end{array} \end{array} \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70850b8eea7808bde1aff4ca38652306_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Desta vez, o diagrama nos retorna 8 arranjos.
Nota-se que há um padrão matemático relacionando a quantidade de argumentos simples 
e o número, máximo, de linhas da tabela verdade. Organizando-se esses dados, percebe-se que
![\[ \begin{array}{lllll} 1\,proposi\c{c}\~{a}o\, simples & = & 2\,linhas &=& 2^{1}\,linhas\\ 2\,proposi\c{c}\~{o}es\, simples & = & 4\,linhas &=& 2^{2}\,linhas\\ 3\,proposi\c{c}\~{o}es\, simples & = & 8\,linhas &=& 2^{3}\,linhas\\ 4\,proposi\c{c}\~{o}es\, simples & = & 16\,linhas &=& 2^{4}\,linhas\\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ n\,proposi\c{c}\~{o}es\, simples & = & \cdots &=& 2^{n}\,linhas \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7ae8ee01ef7f8a9dbf3ceedbd7d74fc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
que escrito de uma maneira mais simples se torna,
![\[ \boxed{\textbf{l} = \textbf{2}^{\textbf{n}}.} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9015b63b59e975460ef94ff5ac2707f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sendo que, 
é o número de máximo de linhas da tabela verdade, e 
o número de proposições simples.
Exercícios
1. SEBRAE 2010 [CESPE]
Considerando as proposições simples que compõem a frase “A música nos conecta a nós mesmos, aos outros e à alma do Brasil“, é correto afirmar que a tabela-verdade da proposição referente a essa frase tem 8 linhas.
Resolução:
Reescrevendo a proposição dada, teremos:
(A música nos conecta) e (a música nos conecta aos outros) e (a música nos conecta à alma do Brasil).
Percebe-se então que se trata de 
proposições simples. Assim o total de linhas da tabela verdade será dado por
![\[ \begin{array}{l} l = 2^{n}\\ l=2^3\\ l=8 \,linhas. \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-780c5d3c2057cd205866bb4321b55d80_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Gabarito: certo.
2.SEFAZ ES 2010 [CESPE]
Considerando os símbolos lógicos 
(negação), 
(conjunção), 
(disjunção), 
(condicional) e as proposições:
![\[ \begin{array}{c} S: (p \wedge \neg q) \vee (\neg p \wedge r) \longrightarrow q \vee r \\ T: ((p \wedge \negq) \vee (\neg p \wedge r)) \wedge (\neg q \wedge \neg r) \end{array} \]](https://matematicaeafins.com.br/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cfba131bc30b889b1d466c89abae539_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
julgue o item que se segue:
1. As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas.
Resolução:
As proposições 
e 
possuem 
proposições simples 
, que resultam em:
Gabarito: errado.
3. PREVIC 2010 [CESPE]
O número de linhas da tabela-verdade da proposição 
é inferior a 6.
Resolução:
A proposição dada possui proposições simples 
, que resulta em:
Gabarito: errado.
Autor: Prof. Fábio Matos
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