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Lógica Proposicional

Lógica proposicional VI – Equivalências

Publicado

VI – Equivalências proprosicionais 

Duas proposições compostas A e B são logicamente equivalentes se a afirmação A \longleftrightarrow B é uma tautologia.

Se A e B são logicamente equivalentes, escreve-se

    \[ A \Longleftrightarrow B, \]

uma outra notação frequentemente usada para duas afirmações logicamente equivalentes é o símbolo “\equiv” ,

    \[ A \equiv B. \]

Pode-se determinar se duas proposições compostas são logicamente equivalentes construindo-se uma única tabela verdade para ambas proposições e verificando se elas têm exatamente os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem.

É possível escrever um sem-número de equivalências lógicas, mas, darei especial atenção a 6 delas. A partir destas 6 equivalências, “mais simples”, pode-se resolver quaisquer problemas mais complicados que envolvam equivalência lógica.

Leis De Morgan

1.\;\; \neg \left (A \wedge B \right) \equiv \neg A \vee \neg B;

2. \;\; \neg \left (A \vee B \right) \equiv \neg A \wedge \neg B;

Equivalências lógicas envolvendo condicionais 

3.\;\; A \longrightarrow B \equiv \neg A \vee B;

4.\;\; A \longrightarrow B \equiv \neg B \longrightarrow \neg A;

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais

5.\;\; A \longleftrightarrow B \equiv (A \longrightarrow B ) \wedge (B \longrightarrow A );

6.\;\; A \longleftrightarrow B \equiv \neg A \longleftrightarrow \neg B.

 

Para comprovar que as seis equivalências acima são verdadeiras, é necessário fazermos a construção de suas respectivas tabelas verdade conforme o exemplo a seguir:

1 –  Prove que a equivalência \neg \left (A \wedge B \right) \equiv \neg A \vee \neg B é verdadeira.

Resolução:

    \[ \begin{tabular}{c|c|c|c||c||c} \hline A & B & \neg A & \neg B & \neg (A \wedge B) & \neg A \vee \neg B \\ \hline V & V & F & F & \textcolor{red}{F} & \textcolor{red}{F}\\ \hline V & F & F & V & \textcolor{red}{V} & \textcolor{red}{V} \\ \hline F & V & V & F & \textcolor{red}{V} & \textcolor{red}{V} \\ \hline F & F & V & V & \textcolor{red}{V} & \textcolor{red}{V} \end{tabular} \]

Assim, pode-se observar que as duas últimas colunas, que estão em vermelho, são idênticas, ou seja, as afirmações \neg \left (A \wedge B \right)  e  \neg A \vee \neg B são equivalentes.

Utilizando procedimento semelhante, pode-se verificar que todas as demais equivalências apresentadas estão corretas. Assim, deixo esta verificação a cabo do leitor.

Exercícios Resolvidos

1. Sebrae 2008 [CESPE]

Julgue o item a seguir:

A proposição \neg (P \wedge Q)  é equivalente à proposição (\neg P) \vee (\neg Q).

 

Resolução:

Conforme vimos no exemplo 1 esta equivalência é verdadeira.

Gabarito: Certo.

2. SEFAZ SP 2009 [ESAF]

A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

b) Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Milão não é a capital da Itália.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

 

Resolução:

Na disjunção “Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra” temos as proposições simples

M: Milão é a capital da Itália;

P: Paris é a capital da Inglaterra.

Agora, para facilitar sua resolução, escreve-se a negação da proposição composta no formato de função lógica:

    \[ \neg (M \vee P) \equiv \neg M \wedge \neg P . \]

Que é o mesmo que afirmar, “Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra“.

Gabarito: A

3. DNOCS 2010 [FCC]

Considere a seguinte proposição:

“Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional.”

Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é:

(A) É falso que, uma pessoa não melhora o seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

(B) Não é verdade que, uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional.

(C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional, então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

(D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

(E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho.

 

Resolução: 

Com base na proposição composta, “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho, então ela não melhora o seu desempenho profissional”. Temos as seguinte proposições simples:

\neg A: uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho;

\neg M: ela não melhora o seu desempenho profissional.

Escrevendo-se na forma de função condicional proposta e resolvendo-a sem esquecer que uma função condicional pode, a princípio, ter duas equivalências

    \[ \begin{array}{cl} \neg A \longrightarrow \neg M & \equiv \left \{ \begin{array}{c} \neg (\neg M) \longrightarrow \neg (\neg A) \\ \\ \neg (\neg A) \vee (\neg M) \end{array} \\ \\ \\ & \equiv \left \{ \begin{array}{cc} M \longrightarrow A; &(I) \\ \\ A \vee (\neg M). &(II) \end{array} \end{array} \]

Como é possível observar, as solução simultânea dos dois possíveis condicionais acima nos conduziu às seguintes afirmações:

(I) Se ela melhora o seu desempenho profissional então faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho;

(II) Uma pessoa faz curso de aperfeiçoamento na sua área de trabalho ou ela não melhora o seu desempenho profissional.

Comparando-se assim as afirmações (I) e (II) com as assertivas dadas chega-se a conclusão que (II) se corresponde com a alternativa E.

Gabarito: E

4. Polícia Federal 2009 [CESPE]

As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes.

 

Resolução:

Considere as seguintes proposições simples:

(\neg P):  O delegado não prende o chefe da quadrilha;

(\neg S): a operação agarra não será bem-sucedida.

Escreve-se agora a função proposicional da primeira afirmação dada

    \[ \begin{array}{ccc} \neg P \longrightarrow \neg S & \equiv & \neg (\neg S) \longrightarrow \neg (\neg P) \\ \\ & \equiv & S \longrightarrow P. \]

O resultado S \longrightarrow P é o mesmo que afirmar, “Se a operação agarra será bem-sucedida, então o delegado prenderá o chefe da quadrilha“.

Gabarito: Errado

Autor: Prof. Fábio Matos

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