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Aritmética Matemática

Frutífero Problema da Olimpiada de Matemática Norueguesa

Publicado

Os números a, b e c são positivos inteiros. Uma maçã custa a, uma banana custa b, e uma cereja custa c. O custo de b maçãs, b bananas, e a + b cerejas é de 77. Qual deve ser o custo de uma maçã, duas bananas e uma cereja?

 

 

Esse problema fez parte das primeiras rodadas da Olimpíada de Matemática Norueguesa. Abordando os conceitos de fatoração por agrupamento e sistema de equações. Os estudantes tiveram cerca de 5 minutos para resolver esta questão.

Este problema parece impossível de resolver, e ainda não tem informações suficientes para ajudar. Será que você consegue? Tente você mesmo, antes de ver a resolução a seguir.

Resolução 

Com base no que está descrito no texto, vamos organizar as informações da seguinte forma,

    \[ \left \{ \begin{array}{cc} ba + bb + (a + b)c =& 77 \;\;\;(I) \\ a + 2b + c =& ? \;\;\;(II) \end{array} \]

Note que a equação (I) representa, de acordo com o texto, as quantidades de maçãs, bananas e cerejas que totalizam $77. Enquanto que a equação (II) é a expressão para a resposta solicitada no comando da questão. Dessa maneira, aplicando-se a operação distributiva em (I),

    \[ ba + bb + ac + bc = 77, \]

neste instante, a única saída viável é fatorar por agrupamento, levando-se em conta os seguintes grupos destacados na expressão

    \[ \underbrace{ba + bb} +\underbrace{ac + bc} = 77, \]

colocando-se em evidencia o termo comum de cada “grupo” destacado, temos que,

    \[ b(a + b) + c(a + b) = 77. \]

Percebe-se agora que o termo comum nas parcelas é (a + b), portanto, este será colocado em evidência,

    \[ (a + b)(b + c) = 77, \]

mas acabamos por obter o produto da soma de dois números inteiros positivos que resulta em 77. Mas, não desista pois a dica é essa mesma, pois sabe-se, que 77 é o resultado do produto dos números primos 7 e 11, dessa forma, podemos reescrever a expressão da seguinte forma,

    \[ (a + b) \cdot (b + c) = 7 \cdot 11. \]

Esta expressão pode ser, sem prejuízo algébrico algum, organizada no seguinte sistema

    \[ \left \{ \begin{array}{cc} a + b =& 7 \;\;\;(III) \\ b + c =&11 \;\;\;(IV) \end{array} \]

Somando-se as equações (III) e (IV), obtêm-se a solução para a equação solicitada (II),

    \[ \boxed{a + 2b + c = 18.} \]

 

Autor: Prof. Fábio Matos

“Aulas Particulares de Calculo, Física e Matemática”

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